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Hypothèse de Rieman


Rédigé le Dimanche 23 Août 2015 à 18:18 | Lu 145 commentaire(s)



Hypothèse de Rieman
Le mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866) accomplit durant sa courte vie une multitude de prouesses. Il impressionna même le « prince des mathématiques » Carl Friedrich Gauss (1777-1855) par les nouvelles méthodes de nature topologique qu'il introduisit en analyse complexe et par la géométrie aujourd'hui nommée riemannienne en son honneur. À cela s'ajoutent des travaux remarquables de géométrie différentielle et sur les équations différentielles, au rôle si important dans les sciences de la nature, des mémoires de physique mathématique, une fondation théorique de la notion d'intégration et bien d'autres choses.

Un seul article de la plume de Riemann concerne la théorie des nombres : Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée. Ce texte aussi témoigne du génie de son auteur. Il contient de nombreuses conjectures qui n'ont été prouvées que plusieurs décennies plus tard. Ainsi qu'une autre que Riemann commente de façon lapidaire : « Il serait à désirer sans doute que l'on eût une démonstration rigoureuse de cette proposition ; néanmoins, j'ai laissé cette recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux, car elle paraît superflue pour le but immédiat de mon étude. »

La démonstration que Riemann avait « laissée de côté pour le moment » continue à faire défaut. Mais ce qu'il voulait prouver est devenu célèbre sous le nom de conjecture ou hypothèse de Riemann. Lors du Congrès international des mathématiciens, à Paris, en 1900, sur la liste des 23 problèmes alors irrésolus par lesquels David Hilbert voulut montrer à ses collègues la voie vers le XXe siècle, la preuve de l'hypothèse de Riemann figurait à la huitième place. Et un siècle plus tard, la Fondation Clay pour les mathématiques a proposé un prix d'un million de dollars pour cette preuve toujours manquante.

En fait, la conjecture de Riemann revêt une importance considérable en théorie des nombres. Sa démonstration donnerait un fondement plus solide à des centaines de travaux mathématiques qui supposent vraie l'assertion de Riemann.

Ces résultats concernent en particulier l'ensemble des nombres premiers. Pour mémoire, il s'agit des nombres entiers supérieurs à 1 qui ne sont divisibles (sans reste) que par 1 et par eux-mêmes : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. D'un côté, ils constituent les « atomes » indispensables du royaume des nombres : chaque entier peut être décomposé de façon unique, à l'ordre près des facteurs, en un produit de puissances de nombres premiers. De l'autre côté, ils incarnent en quelque sorte l'irrégularité, ce qui reste lorsqu'on a éliminé tout ce qui est régulier, c'est-à-dire les multiples de 2, de 3, etc., bref, les nombres composés. Précisément en raison de cette irrégularité, les nombres premiers sont très difficiles à saisir.




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